Persamaan
Kuadrat, Fungsi Kuadrat
dan
Pertidaksamaan
A. Persamaan Kuadrat
Persamaan
kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2
+ bx + c = 0 , a ¹
0
a, b dan c adalah bilangan real.
1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax2 + bx + c =
0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x
– x2) = 0.
Nilai x1
dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x2
– 4 x + 3 = 0
Jawab:
x2 – 4 x + 3 = 0
(x –
3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0
atau x – 1 = 0
x = 3
atau x = 1
Jadi,
penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
Contoh 2 :
Tentukan
penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0.
Jawab:
2 x2 + 7 x + 6 = 0
2 x2
+ 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x (x
+ 2) + 3 (x + 2) = 0
(x +
2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0
atau 2 x + 3 = 0
x = –2
atau x = – 1
Jadi,
penyelesaiannya adalah –2 dan –1.
b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan
kuadrat sempurna
Persamaan
kuadrat ax2 + bx + c = 0
dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2
= q.
Contoh 1:
Tentukan
himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab:
x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x –
3)2 = 4
x – 3 = 2 atau x – 3 =
–2
x = 5
atau x = 1
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan
rumus
Rumus
penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x +
c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan
himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.
Jawab:
x2 + 7x – 30 = 0
a = 1 , b =
7 , c = – 30
x = 3 atau x
= –10
Jadi,
himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.
2.
Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita
perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c =
0 dengan akar-akarnya , b2 – 4ac disebut diskriminan
(D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis
sebagai .
Dari rumus
tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.
Apabila:
- D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .
- D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama. .
- D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai
akar real
atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh :
Tanpa
menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan
kuadrat berikut:
- x2 + 5 x + 2 = 0
- x2 – 10 x + 25 = 0
- 3 x2 – 4 x + 2 = 0
Jawab :
- x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5
, c = 2
D = b2
– 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata
D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0
mempunyai dua akar real berlainan.
- x2 – 10 x + 25 = 0
a = 1 , b = -10
, c = 25
D = b2
– 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena
D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0
mempunyai dua akar real sama.
- 3 x2 – 4 x + 2 = 0
a = 3 , b = –4
, c = 2
D = b2
– 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata
bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x2 – 4 x
+ 2 = 0 tidak mempunyai akar real.
3.
Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat
- Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.
ax2 + bx + c = 0
x2 + x + = 0
Karena
x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan
kuadrat, maka :
Jadi,
, .
Contoh:
Akar-akar x2
– 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2.
Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
- x1 + x2 d.
- x1.x2 e. x13 + x23
- x12 + x22
Jawab:
x2 – 3 x + 4 = 0 ® a = 1
, b = –3 , c = 4
a.
x1 + x2 = 3
b.
x1.x2 = 4
c.
x12 + x22 = x12
+ x22 + 2 x1.x2
– 2 x1.x2
= (x1
+ x2)2 – 2 x1 x2
= 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
e. (x1
+ x2)3 = x13 + 3 x12
x2 + 3 x1 x22
+ x23
= x13
+ 3 x1 x2 (x1 + x2)
+ x23
x13 + x23
= (x1 + x2)3 – 3 x1
x2 (x1 + x2)
= 33
– 3 . 4 (3)
= 27 – 36 =
–9
4.
Menyusun Persamaan Kuadrat
a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan
perkalian faktor
Pada bahasan
terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q
= 0 dapat dinyatakan sebagai
(x – x1)
(x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan
itu x1 dan x2. Dengan
demikian jika akar-akar
persamaan
kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x
– x1) (x – x2) = 0.
Contoh 1:
Tentukan
persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab:
(x – x1) (x – x2) = 0
(x –
3) (x – (-2)) = 0
(x –
3) (x + 2) = 0
x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0
x2 – x – 6 = 0.
b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan
hasil kali akar-akar
Persamaan .
Dengan
menggunakan x1 + x2 = – dan x1
x2 = , maka akan diperoleh persamaan:
x2 – (x1 + x2)x
+ x1x2 = 0.
Contoh:
Tentukan
persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab:
x1 + x2 = -2 – 3 = – 5
x1 x2 = 6
Jadi,
persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0
atau x2 + 5x + 6 = 0.
c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya
berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Seringkali
kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan
akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah
persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2
– 2x + 3 = 0.
Jawab:
Misal
akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1
dan x2. ® x1 + x2
= 2 , x1 x2 = 3.
Jika
akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p
= x1 + 3 dan q = x2 +3
p + q = (x1
+ 3) + (x2 +
3)
p q = (x1 + 3) (x2 + 3)
= x1
+ x2 +
6
= x1 x2 + 3(x1
+ x2) + 9
= 2 + 6 =
8
= 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan
kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p
+ q) + pq = 0.
Persamaan
kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.
B.
Fungsi Kuadrat
1. Pengertian
Fungsi f
pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax2
+ bx + c dengan a, b, dan c bilangan
real dan disebut fungsi kuadrat.
Jika f(x)
= 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx +
c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai
pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi
f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Contoh 1:
Ditentukan: f(x)
= x2 – 6x – 7
Ditanyakan:
- nilai pembuat nol fungsi f
- nilai f untuk x = 0 , x = –2
Jawab:
- Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 – 6 x – 7 = 0
(x –
7) (x + 1) = 0
x = 7 atau x = –1
Jadi pembuat
nol fungsi f adalah 7 dan –1
- Untuk x = 0 maka f(0) = –7
x = –2 maka f(–2) = (–2)2
– 6 (–2) – 7 = 9
2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
Untuk
menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1)
f(x) = x2 – 2x – 3
= x2
– 2x + 1 – 4
=(x –
1)2 – 4
Bentuk
kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2
mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x
– 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.
Jadi, f(x)
= x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4
untuk x = 1.
2)
f(x) = –x2 + 4x + 5
= –x2
+ 4x – 4 + 9
= –(x2
– 4x + 4) + 9
= –(x
– 2)2 + 9
Nilai
terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2.
Dengan
demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 + 9 adalah 0 +
9 = 9.
Jadi, f(x)
= –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2
+ 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.
Sekarang perhatikan
bentuk umum f(x) = ax2 + bx + c
Dengan
uraian di atas, diperoleh:
Fungsi
kuadrat f(x) = a x2 + b x + c
Untuk a
> 0, f mempunyai nilai minimum untuk
Untuk a
< 0, f mempunyai nilai maksimum untuk
Contoh:
Tentukan
nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7
Jawab:
f(x) = 2x2 +
4x + 7 , a = 2 , b = 4 , c
= 7
Nilai
minimum fungsi f = 5
C. Pertidaksamaan
- Pertidaksamaan Linear
Berdasarkan
penyelesaiannya, pertidaksamaan linear terbagi menjadi :
- Pertidaksamaan biasa, yaitu pertidaksamaan yang memiliki himpunan penyelesaian.
Contoh
: 2 x + 3 < 5
- Pertidaksamaan identik, yaitu pertidaksamaan yang berlaku untuk semua nilai peubah.
Contoh
: x + 5 < 2x + 10
- Pertidaksamaan palsu, yaitu pertidaksamaan yang tidak mempunyai himpunan penyelesaian.
Contoh
x + 8 < x + 4
Contoh 1 :
Tentukan
nilai x yang memenuhi 2 x + 4 > x + 3 !
Jawab :
2 x +
4 > x + 3
2 x –
x > 3 – 4
x > – 4
- Pertidaksamaan Kuadrat
Dalam
menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dilakukan langkah-langkah berikut :
- Jadikan ruas kanan nol.
- Uraikan ruas kiri atas faktor linear
- Tentukan nilai pembuat nol ruas kiri
- Buat garis bilangan dan tempatkan nilai pembuat nol ruas kiri pada garis bilangan
- Tentukan tanda-tanda ruas kiri pada garis bilangan.
- Tentukan penyelesaian pertidaksamaan.
Contoh 1 :
Selesaikan x2
– 2x – 8 ³ 0 !
Jawab :
x2 – 2 x – 8 ³ 0
(x –
4 ) (x + 2) ³ 0
Garis
bilangan :
+ + + + +
| – – – – – – | + + + +
–2
4
Nilai x
yang memenuhi :
x £ –2 atau x
³ 4
Contoh 2 :
Selesaikan
3 x2 + 2 x < 3 – 6 x !
Jawab :
3 x2
+ 2 x < 3 – 6 x
3 x2
+ 2 x + 6 x – 3 < 0
3 x2
+ 8 x – 3 < 0
(3 x
– 1) (x + 3) < 0
Nilai
pembuat nol : 3x – 1 =
0
dan x + 3 = 0
3x =
1
x = –3
x =
Garis
bilangan
+ + +
+ | – – – – – – – – – | + + + + +
o
o
–3
Karena
permintaan adalah negatif, maka nilai x yang memenuhi adalah –3
< x <